Generalização do problema dos retângulos de área numericamente igual ao perímetro

Resumo

Neste artigo, vamos generalizar o problema de encontrar os retângulos de medidas inteiras x  e y , cuja área é numericamente igual ao perímetro, ou seja, x.y = 2x+2y , quando fixada uma unidade de medida para o comprimento dos lados. Sabe-se que existem dois tais retângulos: o de medidas 4 por 4 e o de medidas 3 por 6. A generalização que provamos no presente trabalho é a resolução da equação, nos inteiros positivos, da equação x.y=kx+ky . Provamos que o número S de soluções (x₀,y₀) desta equação é igual ao número de divisores positivos de k^2, isto é, S=#{divisores de k²} . Provamos ainda que, se considerarmos que os pares simétricos (x₀,y₀) e  (y₀,x₀) são uma única solução, então a quantidade  de soluções da equação é R=(s+1)/2. Basicamente, usamos manipulações algébricas simples, equações, inequações e funções bijetoras. Por fim, simulamos alguns casos particulares de  k no softwares livre Maxima para verificação dos resultados.