C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática

Viga prismática delgada e elástica: três aplicações de importância prática na engenharia

Jorge Corrêa de Araújo — 2024-12-21

As vigas prismáticas submetidas à esforços, podem sofrer deformações elásticas. Nesse estudo, três aplicações envolvendo uma viga de aço prismática quase retilínea são analisadas. A primeira, consiste em uma carga concentrada P em seu ponto médio, onde a modelagem é tratada de duas formas distintas. Uma forma utiliza a equação do momento fletor com condições de contorno aplicadas em uma de suas extremidades e no ponto central da viga. Essa abordagem ficou em boa concordância com o modelo desenvolvido nesse estudo, onde as condições de contorno são aplicadas nos extremos da viga. Na segunda aplicação, uma mola é posta sob a barra no ponto médio, de modo a atenuar o movimento vertical causado pela força P. A elástica dessas deformações foi aqui determinada. A terceira aplicação consiste na disposição de três cargas equidistantes sobre a barra de modo a obter uma representação cinemática não forçada desse movimento.

Estudo analítico e computacional de domínio numérico de matrizes

Fabiana Correia Pereira — 2024-08-01

Este artigo científico apresenta os resultados da pesquisa sobre Domínio Numérico de Matrizes Complexas. Na primeira parte, abordamos as principais propriedades e suas respectivas demonstrações, destacando-se a propriedade P8 sobre convexidade do domínio numérico, demonstrada através do Teorema de Toeplitz-Hausdorff. Na segunda parte, mostramos como determinar o domínio numérico de uma matriz, além de fazer sua representação gráfico no plano complexo, para tanto, utilizamos o teorema do domínio elíptico, pois ao ser representado no plano complexo, o domínio numérico revela informações valiosas sobre o comportamento dos autovalores da matriz e sua geometria associada. A terceira e última parte do trabalho, é determinar o domínio numérico de uma matriz arbitrária, com seus respectivos autovalores, através de aproximações numéricas, para tanto, implementamos, através do programa MATLAB, um algoritmo, proposto por Charles R. Johnson.

Desenvolvendo a visualização: uma prática envolvendo Geogebra 3D e elementos da geometria descritiva

Lucas Lima Ferreira — 2024-09-12

Este é um recorte de uma pesquisa que objetivou investigar se a prática em construir e projetar objetos geométricos através do Geogebra 3D contribui com o desenvolvimento da Visualização. É uma pesquisa bibliográfica, pré-experimental e qualitativa. Com a revisão de literatura compreendemos o fenônemo da Visualização, os benefícios do uso de softwares de geometria dinâmica no estudo de geometria e a contribuição da Geometria Descritiva com relação a imaginarmos objetos no espaço. A teoria que nos embasa é posta por Angel Gutierrez com respeito a uma caracterização para a Visualização. Obtemos a resposta para a questão de pesquisa através de uma atividade aplicada em licenciandos de matemática da Universidade do Estado da Bahia. Em suma, com a análise dos dados coletados detectamos indícios de ganhos na Habilidades de Visualização dos participantes.

Área de um triângulo e suas alturas

Chico Nery — 2024-08-01

Com toda a certeza, o estudo das propriedades do triângulo e seus elementos, desempenha papel preponderante no estudo da geometria plana, também conhecida como geometria sintética. A partir deste estudo, por exemplo, o cálculo da área de outras figuras, tais como paralelogramo e trapézio, dentre outros, decorre de forma bastante natural, pois, em geral, podemos decompor tal figura plana em triângulos, somando as respectivas áreas a fim de obter a área da figura em questão. Aqui, neste trabalho, apresenta-se e discute-se uma relação entre a área de um triângulo e a área de seu correspondente triângulo cujos lados são o inverso das alturas do triângulo. Mostra-se que o produto dessas duas áreas é uma constante numérica, um resultado bastante interessante e aparentemente novo. Casos particulares são discutidos.

Topologia das funções entrópicas

Keoma Hermenegildo Kurashima — 2024-12-17

Nos cursos de Física básica os alunos tem contato com a segunda lei da termodinâmica a qual os levam a definir uma nova função de estados chamada de “entropia”. Contudo as definições vieram de estudos empíricos. Mostraremos de maneira generalizada a formulação Ludwig Eduard Boltzmann para entropia, ademais algumas propriedades topológicas do conjunto das funções entropicas.

Uma nota acerca da matriz repunidade

Douglas Catulio Santos — 2024-12-17

O estudo investiga a sequencia repunidade, caracterizados por uma recorrência linear de segunda ordem. Empregando a teoria de Horadam a sequência e a álgebra matricial, elucidamos a sequência, destacando o papel central da matriz geradora na análise de sequência. Os resultados revelam uma profunda inter-relação entre as propriedades da sequência e da matriz. A investigação culmina em um exame meticuloso das propriedades aritméticas e numa interpretação da matriz repunidade. Metodologicamente, integra análises teóricas e matriciais, enraizadas em recorrências e álgebra linear, oferecendo uma visão acadêmica abrangente sobre as complexidades das sequências.

Os caminhos das raízes da função quadrática II

Luís Cláudio Yamaoka — 2024-12-17

Em Yamaoka (2023) fixamos dois coeficientes reais e variamos o coeficiente real remanescente da função quadrática para obter os caminhos descritos pelas duas raízes da função no plano $\C$. Neste artigo, usamos a inversa $\Phi$ da projeção estereográfica para levar os caminhos de ambas as raízes para a esfera $\mathbb{S}^2 \subset \R^3$: exceto no subcaso no qual os caminhos das imagens por $\Phi$ das duas raízes estão restritos ao pólo sul $S$ de $\mathbb{S}^2$, em cada um dos demais subcasos os caminhos das imagens por $\Phi$ de ambas as raízes repousam sobre uma ou duas circunferências em $\mathbb{S}^2$. Quando o coeficiente variável tende a $-\infty$ e a $+\infty$, observamos as relações que têm as duas raízes, via $\Phi$, com os pólos norte $N$ e/ou sul $S$ de $\mathbb{S}^2$. Seja $G_j \subset \mathbb{S}^2$ o conjunto dos pontos do caminho da imagem por $\Phi$ da raiz $j$ em $\mathbb{S}^2$, $j=1,2$. Determinamos os pontos aderentes comuns a $G_1$ e a $G_2$. Usamos o Cálculo Diferencial, a Geometria Analítica com tratamento vetorial, a inversa da projeção estereográfica e a distância entre dois conjuntos.}

Polinômios e números primos: explorando padrões através de cálculos computacionais e a Conjectura 41

Jorge Andrés Julca Avila — 2024-12-17

Hardy e Littlewood, ao longo de suas notáveis carreiras, propuseram várias conjecturas matemáticas. Em particular, a Conjectura F de Hardy-Littlewood, formulada em 1922, sugere que certas funções quadráticas geram infinitos números primos e estabelece uma relação assintótica para a função de contagem de números primos. Este trabalho apresenta um polinômio de segundo grau, v₄₁(x)=x²+81x+41², derivado do n-quadrado Zeta, que representa uma aplicação específica da Conjectura F. Propomos, portanto, uma abordagem alternativa para a demonstração da Conjectura F através da Conjectura 41. "A Conjectura 41 postula que ``A função de contagem de primos-41, gerada pelo polinômio v₄₁(x), é assintoticamente igual a x/(Alnx + B)". Adicionalmente, constatamos que, se a Conjectura 41 for verdadeira, o polinômio em questão gerará infinitos números primos.

Sobre o lançamento de projéteis

Ricardo Parreira da Silva — 2024-12-17

Embora o estudo da trajet´oria de proj´eteis, em lançamentos obl´ıquos e sob condiç˜oes ideais, seja um t´opico recorrente durante o per´ıodo que compreende o final do ensino m´edio at´e as disciplinas universit´arias b´asicas de C´alculo e F´ısica, seu tratamento nesse contexto, invariavelmente o apresenta como uma mera aplicac¸˜ao das noç˜oes dos movimentos: uniforme e uniformemente variado em duas dimens˜oes. Assim sendo, propriedades importantes e aplicaç˜oes relevantes s˜ao, em geral, negligenciadas. Neste artigo desenvolvemos a teoria do lanc¸amento obl´ıquo de proj´eteis sob condiç˜oes ideais e destacamos suas principais propriedades. Apresentamos uma s´erie de aplicaç˜oes interessantes e n˜ao triviais, que podem, inclusive, serem estendidas para al´em do escopo deste texto, vide, por exemplo, [1].

Transformando frequências em melodias: análise de ondas sonoras e da curva de Railsback

Cristiane Aparecida Pendeza Martinez — 2024-12-19

Este artigo explora os princ´ıpios da ac´ustica e da linguagem musical, com ˆenfase na transformac¸˜ao de frequˆencias em melodias no contexto do piano. O estudo destaca a an´alise da curva de ajuste Railsback, uma metodologia utilizada por t´ecnicos para otimizar a qualidade sonora ao ajustar desvios de afinac¸˜ao caracter ´ısticos em pianos. Investigamos tamb´em os principais tipos de ondas aplicadas na s´ıntese sonora, incluindo senoidais, quadradas e triangulares, avaliando suas propriedades de frequˆencia e amplitude e o impacto que exercem sobre a percepc¸ ˜ao auditiva. No ambiente MATLAB, implementamos esses tipos de ondas e apresentamos uma an´alise detalhada de como os parˆametros influenciam o timbre e a qualidade do som. Por fim, implementamos um algoritmo que ilustra o uso da curva de Railsback para ajuste fino das frequˆencias das teclas, proporcionando uma afinac¸˜ao que se alinha com a percepc¸ ˜ao auditiva ideal e a harmonia ac´ustica.

Conjugação anal´ítica entre sistemas diferenciais planares e sistemas potenciais

Francisco José dos Santos Nascimento — 2024-12-19

O clássico Teorema da Forma Normal de Poincaré afirma que um ponto crítico de um campo vetorial planar analítico é um centro não degenerado se e somente se houver uma mudança de coordenada analítica tal que nas novas coordenadas o campo vetorial inicial seja da forma f(x^2+y^2)(y \partial/\partial x - x \partial / \partial y), onde f é uma função analítica definida em uma vizinhança da origem tal que f(0)>0. Neste artigo é provado que um campo vetorial planar analítico com um centro não degenerado em (0,0) é analiticamente conjugado, em uma vizinhança de (0,0), a um campo vetorial hamiltoniano da forma y \partial / \partial x -V'(x) \partial / \partial y, onde V é uma função analítica definida em uma vizinhança da origem tal que V(0)=V'(0)=0 e V''(0)>0. Este resultado é uma resposta parcial a um problema proposto por Chicone em 1987.

Uma abordagem numérica para modelos populacionais considerando incerteza do tipo intervalar nas condições iniciais

Raquel Cristina de Andrade Queiroz — 2024-12-19

Este trabalho apresenta um estudo comparativo entre o princ´ıpio de extens˜ao de Zadeh e o princ´ıpio de extens˜ao sup - J0 na propagação de incerteza, focado em modelos populacionais descritos por equações diferenciais. Neste estudo, é considerado que as condições iniciais dos modelos são dados por intervalos, a fim de incorporar a incerteza intrínseca do fenômeno. Para isso, são estudados modelos de dinâmica populacional por meio do método numérico de Euler, que é adaptado à aritmética intervalar. Especificamente, são considerados três modelos, o de Malthus, Verhulst e Gompertz. Para cada modelo, são feitas simulações que permitem visualizar o comportamento e a propagação da incerteza tanto para a soma de Zadeh, quanto para a soma sup-J0. Os resultados obtidos se alinham aos resultados teóricos, mostrando que a soma de Zadeh propaga a incerteza ao longo do tempo, enquanto o princ´ıpio de extens˜ao Sup - J0 diminui a incerteza ao longo do tempo.

Introdução ao Modelo de Roche

Henrique Casellato Vitorio Rodrigues da Costa — 2024-08-01

O objetivo deste trabalho é examinar o Modelo de Roche criado pelo astrônomo e matemático francês Édouard Roche, suas implicações para o estudo de sistemas binários próximos e analisar uma forma simplificada do mesmo, a fim de entender, na prática e em um nível de iniciação científica, suas propriedades, seus equipotenciais e o limite de Roche. O artigo apresenta em uma primeira parte de iniciação em conceitos de sistemas binários, energia potencial e o problema dos dois corpos, além das ferramentas de linearização que serão necessárias para a investigação do problema. Uma segunda parte do artigo é dedicada à contextualização da problemática e o motivo pelo qual existiu, no passado, a necessidade da criação de um novo modelo matemático para o estudo de estrelas binárias próximas. Por fim, serão usados todos os conceitos apresentados nas seções anteriores para estudar, de uma forma substancialmente simplificada, um sistema binário com uma função que define seus equipotenciais.

Extensões algébricas de corpos: algumas aplicações práticas

Jorge Corrêa de Araújo — 2024-08-01

Neste trabalho, nosso objetivo principal é apresentar de forma simples, o processo de construção do corpo de raízes de um polinômio através da adjunção de raízes, onde é um subcorpo dos números complexos C. São explorados alguns casos de racionalização da Álgebra Elementar, em extensões algébricas simples dos racionais, usando duas abordagens metodológicas distintas obtidas da Álgebra Abstrata. O caso especial das raízes n-ésimas da unidade do polinômio é analisado do ponto de vista geométrico e da obtenção de seu corpo de raízes. Além disso, é apresentada de modo didático uma conexão entre as raízes n-ésimas da unidade e sua aplicação em processamento de sinais digitais. Por último, é apresentada uma análise de um movimento vibratório de pequena amplitude relacionando-o com as raízes de uma equação quadrática derivada do modelo do sistema físico adotado.

Palavras-chave: Álgebra abstrata. Racionalização Algébrica. Processamento de sinais. Sistemas físicos estáveis.

Teoremas de Menelaus, Pascal e Ceva: cinco problemas resolvidos propostos para a Olimpíada Internacional de Matemática

Juan López Linares — 2024-12-17

Os Teoremas de Menelaus, Pascal e Ceva estabelecem condições necessárias e suficientes para a concorrência e colinearidade de determinadas retas e pontos. Cinco problemas propostos para a Olimpíada Internacional de Matemática são discutidos em detalhe. As demonstrações envolvidas nas soluções são complementadas pela disponibilização dos respectivos links das figuras interativas utilizando o GeoGebra. É esperado que o artigo possa ser apreciado tanto por estudantes, que preparam-se para as fases finais de competições nacionais ou internacionais, quanto por professores, que atuam no ensino e interessam-se em desafios olímpicos. Outros assuntos lembrados são: quadriláteros inscritíveis, semelhança, potência de ponto, base média, incentro e homotetia.

Modelo de corrida armamentista via sistema p-Fuzzy

Marcelo Teles da Silva Brito — 2024-12-17

O presente artigo apresenta uma adaptação do modelo de corrida armamentista desenvolvido por Richardson, que é baseado em um sistema de equações diferenciais, via teoria dos conjuntos e lógica fuzzy. Para tanto implementamos um sistema de inferência fuzzy aliado com métodos numéricos tradicionais com o objetivo de solucionar as equações diferenciais propostas por Richardson quando o campo de direções é apenas parcialmente conhecido. Essa metodologia permite que o especialista possa entender e modificar modelos matemáticos complexos de forma intuitiva sem perder o rigor matemático.

O sistema fundamental generalizado de Jacobsthal: propriedades e identidades

Reginaldo Leoncio Silva — 2024-12-17

Neste trabalho estudamos o sistema fundamental generalizado de Jacobsthal, destacando suas principais propriedades e algumas identidades. São usadas as propriedades matriciais da bem conhecida matriz casoratiana para obtenção das identidades deste sistema. Também apresentamos expressões combinatórias para as propriedades e para as identidades. A metodologia que adotamos foi a revisão bibliográfica, onde procuramos responder a seguinte pergunta: Quais são as principais propriedades e identidades do sistema fundamental generalizado de Jacobsthal? Começamos falando sobre a família de números de Jacobsthal generalizados, destacando seu papel fundamental e em seguida, apresentamos propriedades e identidades através do estudo da respectiva matriz de Casoratian deste sistema. Ainda, destacamos a fórmula combinatória para os números generalizados. Esperamos que este trabalho contribua para uma divulgação deste conteúdo e a elaboração de outras pesquisas futuras.