C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática

Congruências numéricas: cinco problemas resolvidos propostos para olimpíadas internacionais de matemática

Juan López Linares, Alexys Bruno-Alfonso, Grazielle Feliciani Barbosa — Wed, 20 Dec 2023 00:00:00 +0000

As congruências numéricas, também chamadas de Aritmética do relógio ou dos restos, são um assunto usualmente omitido nos programas de Ensino Médio no Brasil. Neste artigo são discutidos cinco problemas propostos para a Olimpíada Internacional de Matemática. Os problemas investigam a divisibilidade por $7$ dos números $2^n-1$ e $2^n+1$, uma equação diofantina não linear, uma sequência em que cada número é encontrado pela soma dos dígitos do anterior, números com três últimos dígitos iguais e uma recorrência com quadrados perfeitos. São utilizadas congruências módulo $2$, $3$, $5$, $7$, $8$, $9$, $125$ e $1000$ e a fórmula do binômio de Newton.

Alguns cálculos de Ends de Grupos

Mateus Fernando Araújo Silva, Francielle Rodrigues de Castro Coelho — Wed, 20 Dec 2023 00:00:00 +0000

A Teoria de Ends de Grupos é bastante relevante em Álgebra Homológica. Nesta área, o conceito de ends de grupos, definido algebricamente por Specker em 1950, está relacionado com a dimensão de um espaço quociente sobre Z_2.

Neste trabalho, o principal objetivo é apresentar conceitos e resultados sobre ends de um grupo G, e(G). Mais especificamente, calculamos o número de ends de grupos finitos, grupos cíclicos infinitos e grupos não enumeráveis.

Uma introdução às equações funcionais com abordagem no ensino médio

Wed, 20 Dec 2023 00:00:00 +0000

O presente estudo tem por objetivo apresentar alguns conceitos e problemas básicos sobre equações funcionais, bem como os conteúdos que estão diretamente ligados a esse tema como equações e funções, dessa forma, podemos observar que esse assunto pode ser explorado no ensino médio. Esse assunto de equações funcionais acaba sendo uma aplicação dos conceitos de equações e funções, por isso temos a seção conceitos preliminares neste estudo. Historicamente esse conteúdo apresentar vários matemáticos que tiveram grande participação na construção deste conceito. Para mostrar a interdisciplinaridade que as equações funcionais podem proporcionar, foi feita a resolução de alguns exemplos com o objetivo de adquirimos um conhecimento prévios sobre a resolução dos problemas, posteriormente apresentamos uma abordagem das equações funcionais através de funções inversas.

A generalização da forma matricial híbrida das sequências de Leonardo, Padovan, Perrin e Narayana

Wed, 20 Dec 2023 00:00:00 +0000

A partir do conjunto dos números híbridos e das sequências Leonardo, Padovan, Perrin e Narayana, o presente artigo tem como objetivo apresentar as formas matriciais híbridas destas sequências lineares, bem como suas matrizes para índices inteiros não positivos. Todos os resultados obtidos foram demonstrados pelo princípio de indução matemática e, para trabalhos futuros, é incentivado a exploração desta investigação com outros conteúdos matemáticos.

Demonstração de dois teoremas sobre Sequências de Intervalos Encaixantes

Afonso Henriques Silva Leite, Rafael Verão Françozo — Wed, 20 Dec 2023 00:00:00 +0000

Em uma obra bastante utilizada no Ensino de Cálculo em Instituições de Ensino Superior no Brasil é feita uma referência à Propriedade dos Intervalos Encaixantes para se demonstrar a existência de raízes reais para uma equação quadrática, assim como para provar a existência de raizes para equações envolvendo potências quaisquer de incógnitas reais. Cita-se que se uma sequência de intervalos é encaixante então uma sequência formada com o quadrado ou com qualquer potência inteira de seus termos também é, muito embora não seja apresentada uma prova dessas alegações. Nesse trabalho, demonstra-se que se a Propriedade dos Intervalos Encaixantes vale para uma sequência de intervalos, então ela também vale para a sequência formada pelo quadrado ou qualquer potência inteira de seus termos. A prova é baseada na validade de duas Propriedades que fundamentam a Propriedade dos Intervalos Encaixantes e foi dividida em dois casos para incluir todas as possibilidades. A conclusão se baseia na dedução inferida a partir das provas das propriedades fundamentais, completando essa lacuna para melhor compreensão do assunto.

Teoria da relatividade: uma motivação histórica e a matemática por trás

Maria Júlia Fassis, Marta Cilene Gadotti — Wed, 20 Dec 2023 00:00:00 +0000

A Teoria da Relatividade desenvolvida por Albert Einstein (1879 -1955) no início do século XX provocou uma revolução no campo da Física. Buscamos com esse artigo explicitar as circunstˆancias que levaram ao surgimento dessa teoria, entender em que ela foi baseada e desenvolver alguns dos conceitos relacionados a ela, como o Princípio da Equivalˆencia, a simultaneidade, a dilatação do tempo, a Teoria do Espaço-Tempo e a estrutura dos cones de luz.
Nesse trabalho, introduzimos alguns conceitos olhando o desenvolvimento histórico que levou `a Teoria da Relatividade e utilizando algumas ferramentas matem ́aticas. A Geometria Diferencial possui uma importante relação com tal teoria e por isso, a abordamos para discutir sobre a Teoria do Espaço-Tempo, porém buscamos não nos aprofundar nessa geometria para que não seja necessário um conhecimento prévio nesse ramo para compreender as discuss ̃oes exploradas nesse artigo.

Um estudo da equação soma-produto de números naturais

Fernando Soares de Carvalho, Eudes Antonio Costa — Wed, 20 Dec 2023 00:00:00 +0000

Este trabalho apresenta um estudo sobre uma equação que relaciona a soma e o produto de números naturais. Como encontrar soluções para essa equação pode ser desafiador, focamos em três casos particulares para simplificar a análise e explorar vários métodos para encontrar soluções.

Uma aplicação do problema da estimação em modelos de regressão com erros nas variáveis

Cássio Pinho dos Reis, Silvia dos Santos de Almeida — Wed, 20 Dec 2023 00:00:00 +0000

A exigência de um melhor controle dos procedimentos de mensuração tem se intensificado, levando pesquisadores a buscar novas técnicas para obter melhores resultados. E quando se trata de medições, é necessário o auxílio de algum instrumento de medição. Porém, os erros de mensuração estão presentes quando se utilizam estes instrumentos. Dessa forma, o objetivo deste trabalho é mostrar o problema que se tem, quando a variável preditora do modelo de regressão apresenta algum tipo de erro na obtenção dos dados, fazendo com que o modelo de regressão clássico se torne impreciso, e consequentemente, o modelo de regressão com erro nas variáveis o apropriado para este caso. Utiliza-se como aplicação, os dados referentes ao índice de massa corporal e circunferência da cintura de 80 pessoas. Como as amostras são sujeitas a erros, o mais indicado é a utilização do modelo com erros nas variáveis (funcional), pois na estimação dos seus parâmetros, os erros são levados em consideração, a presença de erros de medida na variável independente (X), influenciam diretamente na precisão dos estimadores dos modelos, fazendo com que à medida em que o erro ligado a variável independente aumenta, o erro padrão também aumenta.

Os caminhos das raízes da função quadrática

Luís Cláudio Yamaoka — Wed, 20 Dec 2023 00:00:00 +0000

Neste artigo fixamos dois coeficientes reais e variamos o coeficiente real remanescente da função quadrática (função polinomial do segundo grau) para obter os caminhos descritos pelas duas raízes da função no plano complexo. Tais caminhos repousam em circunferências cujos centros estão no eixo real, no eixo real, em paralelas ao eixo imaginário ou no eixo imaginário, e na origem. Nas situações pertinentes, as Figuras especificam qual ou quais pontos devem ser excluídos das circunferências e das retas. Comentários também acompanham as Figuras. Diferenciamos os sentidos dos percursos das raizes reais quando da existência ou não de raízes complexas não reais. Determinamos as situações nas quais as raízes duplas aparecem. Determinamos o(s) ponto(s) aderente(s) comum(ns) aos dois conjuntos formados pelos pontos dos caminhos de ambas as raízes. Usamos Pré-Cálculo, Cálculo de uma variável real e um pouco de Análise para provar esses resultados.