Algumas propriedades da sequência de Pell

Abstract

Seja 𝑛 um número inteiro não negativo. Neste trabalho consideramos a usual sequência de Pell, a qual denotamos por P𝑛 e o elemento de posição 𝑛 ≥ 0 desta sequência por 𝑃𝑛. Bicknell (1975) afirma que a sequência de Pell possui propriedades aritméticas semelhantes as propriedades da sequência de Fibonacci ou Lucas (que não serão tratadas aqui), no entanto é pouco conhecida ou difundida, sendo restrita a pesquisadores, estudiosos ou diletantes em Teoria dos Números. Com a curiosidade atiçada pela afirmação de Bicknell, estudamos (revisão bibliográfica) algumas propriedades desta sequência numérica. Por exemplo, Santana e Díaz-Barrero (2006) apresentam um estudo sobre algumas somas parciais de termos 𝑃𝑛, isso nos instigou a fazermos algumas observações e conjecturar alguns resultados, e assim obtemos alguns resultados. Em especial Santana e Díaz-Barrero (2006) mostram que, a soma dos primeiros 4𝑛 + 1 elementos de P𝑛 é um quadrado perfeito. Nossa principal contribuição é uma caracterização do divisor ímpar de 𝑃𝑛, sendo 𝑛 ímpar e 𝑃𝑛 composto.