Algumas considerações sobre homotopia e homologia

Abstract

A Topologia Alg´ebrica pode, intuitivamente, ser definida como sendo o estudo de t´ecnicas para conseguir, atrav´es de funtores, imagens alg´ebricas de espa¸cos topol´ogicos. Geralmente, estas imagens s˜ao grupos e as fun¸c˜oes cont´ınuas entre os espa¸cos topol´ogicos s˜ao projetadas sobre homomorfismos entre grupos. Ou seja, dado um espa¸co topol´ogico X associamos a ele um grupo G(X) e dada uma fun¸c˜ao cont´ınua f : X → Y associamos a essa fun¸c˜ao um homomorfismo de grupos G(f) : G(X) → G(Y ) satisfazendo algumas propriedades funtoriais. Com isso, pode-se resolver problemas da Topologia atrav´es da Algebra. Neste trabalho, apresentamos algumas considera¸c˜oes sobre dois dos principais funtores da Topologia Alg´ebrica, o grupo fundamental π1(X) e a homologia singular H∗(X). Antes de dar as defini¸c˜oes formais, apresentamos uma ideia intuitiva sobre o que medem, em termos topol´ogicos, esses dois funtores. Depois de apresentarmos a ideia intuitiva, formalizaremos as defini¸c˜oes e apresentaremos alguns resultados sobre estes grupos, dentre eles o Teorema de Hurewicz, que relaciona π1(X) e H1(X), cujas demonstra¸c˜oes podem ser encontradas nas referˆencias. Apresentamos tamb´em alguns exemplos e aplica¸c˜oes dos resultados.