Comparando exponenciais aninhadas envolvendo alternadamente os números e e π

Resumo

Um interessante problema que surge em Cálculo é verificar qual dos números é maior, π^e ou e^π. A resposta a essa questão é simples e está apresentada uma prova no Teorema 1. Inspirados pelo problema acima, nos questionamos o que ocorre se resolvermos aumentar alternadamente tais potências, ou seja, se quisermos comparar, por exemplo, os números π^e^π e e^π^e, qual deles será maior? E assim por diante. Curiosamente, notaremos que as desigualdades obtidas nestas comparações não serão todas no mesmo sentido, ou seja, a relação de ordem vai alternando, conforme evoluirmos nas exponenciais aninhadas alternadas envolvendo os números e e π.