O problema do ponto mais visitado e a cadeia do viajante

Resumo

Em um reticulado do plano (conjunto dos pontos (𝑥, 𝑦) que possuem ao menos uma coordenada inteira), considerando todos os caminhos possíveis que saem do ponto (0,0) e chegam ao ponto (𝑁, 𝑁), o ponto (1,1) é o mais provável de ser atravessado por um caminho escolhido ao acaso, onde a escolha aleatória do caminho pode ser dada através da retirada sucessiva de bolas de cores distintas de uma urna. Tal fato fora provado por Santos e Castilho (2013) na solução do chamado problema do ponto mais visitado. O presente artigo mostra que este resultado, quando analisado do ponto de vista da cadeia de Markov correspondente ao experimento da escolha aleatória do caminho, denominada aqui de cadeia do viajante, acarreta no seguinte resultado desta cadeia: dentre as potências das matrizes de transição 𝑃𝑛, o maior elemento das primeiras linhas de todas as matrizes é o elemento 𝑃15 (2),que é a probabilidade de se passar do estado 1 para o estado 5 em 2 passos.