Um estudo probabilístico sobre caminhos em reticulados quadrados

Resumo

Escolhendo-se aleatoriamente um caminho no plano que parte da origem (0,0) e chega em (𝑁, 𝑁) num reticulado quadrado 𝑁 por 𝑁, 𝑁 > 0, cada vértice (𝑥, 𝑦) do reticulado possui uma chance 𝑃𝑁((𝑥, 𝑦)) de ser atravessado – ou visitado – pela trajetória sorteada. Neste artigo, será realizado um estudo sobre a função 𝑃𝑁((𝑥, 𝑦)), para alguns pontos fixados (𝑥, 𝑦) do plano. Para as provas, utilizaremos principalmente os resultado de Santos e Castilho (2013) e também alguns resultados clássicos da análise combinatória. Será verificado que, para certos pontos do plano, a probabilidade 𝑃𝑁 aumenta com 𝑁, já para outros, 𝑃𝑁 diminui. Há pontos ainda para os quais a função 𝑃𝑁 não é crescente nem decrescente com 𝑁. Os cálculos envolvidos neste artigo podem ser utilizados por professores de matemática dos Ensinos Médio e Superior em suas aulas de análise combinatória e probabilidade.