Uma demonstração da conjectura de Chen no espaço Euclidiano E4

Abstract

Seja M2 uma superf´ıcie compacta bidimensional imersa no m-espac¸o Euclidiano Em. A curvatura média total de M2 é definida como sendo a integral int_M2 H^2 dV , onde H e dV denotam, respectivamente, a curvatura média e o elemento de volume da su-perf´ıcie M2. Um problema interessante é encontrar o melhor limite inferior desta integral em termos dos invariantes geométricos ou topologicos de M2. Muitos resultados tem sido obtidos acerca desse problema. Bang-Yen Chen (1981, p. 515) conjecturou que se M2 é uma superf´ıcie bidimensional compacta de gênero g ≥ 1 imersa no m-espac¸o Euclidiano Em, então a integral do quadrado de sua curvatura média ´é pelo menos 2π^2. Neste trabalho, demonstraremos que essa conjectura é v´álida no caso do espac¸o Euclidiano 4-dimensional E4.