Notas históricas e demonstrações do teorema de De Gua sobre as áreas das faces de um tetraedro: “Pitágoras” em três (ou n) dimensões

Abstract

Jean Paul De Gua de Malves foi um matemático francês, membro da Academia Real Francesa de Ciências no século XVIII. O teorema que leva seu nome estabelece uma relação entre a medida das áreas de um tetraedro com um ângulo sólido reto, dizendo que o quadrado da área hipotenusal é igual à soma dos quadrados das áreas das outras faces, o que traz uma correspondência com o famoso teorema de Pitágoras. A partir da prova original, este artigo deixa claro argumentos geométricos implícitos, especialmente o método de Herão para cálculo de áreas triangulares e propõe outras quatro versões de prova, duas delas usando apenas raciocínios da Geometria plana e espacial e as outras duas, aproveitando operações e propriedades vetoriais. Adicionalmente, há alguns comentários sobre uma generalização do teorema para poliedros convexos compactos n-dimensionais.