On Ptolemy’s remarkable theorem

Abstract

A geometria elementar do plano foi proposta por Euclides em sua monumental obra Os Elementos, mediante um método axiomático-dedutivo. Assim, partindo de entes fundamentais, axiomas e postulados, resultados são demonstrados por meio de uma estrutura lógica, dentre eles os teoremas, formalizados como o binômio hipótese-tese, ou ainda afirmações que podem ser provadas como verdadeiras. Existem muitos teoremas e talvez o mais famoso, por uma ou outra razão, seja o teorema de Pitágoras associado ao triângulo retângulo. Aqui, vamos abordar o teorema de Ptolomeu, relacionado a um quadrilátero inscrito numa circunferência, também conhecido pelo nome de quadrilátero cíclico. A notabilidade do teorema de Ptolomeu é evidenciada por suas aplicações, dentre outras citamos, os teoremas de Stewart, de Hiparco e de Chadu; relações com polígonos regulares; com a trigonometria, recuperando as expressões para o seno e o cosseno da soma de arcos e, por fim, interessantes relações envolvendo cordas.