Congruências numéricas: cinco problemas resolvidos propostos para olimpíadas internacionais de matemática

Abstract

As congruências numéricas, também chamadas de Aritmética do relógio ou dos restos, são um assunto usualmente omitido nos programas de Ensino Médio no Brasil. Neste artigo são discutidos cinco problemas propostos para a Olimpíada Internacional de Matemática. Os problemas investigam a divisibilidade por $7$ dos números $2^n-1$ e $2^n+1$, uma equação diofantina não linear, uma sequência em que cada número é encontrado pela soma dos dígitos do anterior, números com três últimos dígitos iguais e uma recorrência com quadrados perfeitos. São utilizadas congruências módulo $2$, $3$, $5$, $7$, $8$, $9$, $125$ e $1000$ e a fórmula do binômio de Newton.